在《海盗时代2：沉船之城》中，消灭乞丐任务（也被称为消灭穷人任务）的完成方法是：在母港街头随机遇到NPC并接受任务，然后前往各个城市寻找乞丐并与之对话，最后根据乞丐的提示前往荷兰母港总督处完成任务。
以下是具体的步骤：
1. 接受任务：
在母港（法国母港托尔图加、西班牙母港哈瓦那、英国母港罗伊港、荷兰母港威廉斯塔德中的任意一个）的街头，白天时会随机遇到一位NPC。
这位NPC一般会主动和你对话，并给你一个任务：消灭所有城市的乞丐。
2. 寻找乞丐：
前往其他城市，一般在上午9点以后会随机出现乞丐。
和乞丐对话（注意选项，通常不是第一个选项），乞丐会告诉你某个城市的一个有名有姓的乞丐在找你。
根据乞丐的提示，前往他告诉你的城市，找到那个有名的乞丐并与之对话。
3. 完成任务：
乞丐会和你讲一个故事，并让你前往荷兰母港总督处查看一下。
来到荷兰母港总督处，进入内间（有一名守卫看护），靠近某个箱子时任务会更新，提示没有钥匙打不开。
任务可能已经完成（根据游戏版本和设定，有时获得提示即算完成任务），或者需要进一步的步骤来找到钥匙并打开箱子（某些攻略中提到钥匙是关键物品，但具体获取方式可能因游戏版本而异）。
请注意，游戏的具体设定和机制可能因版本而异，因此上述步骤可能需要根据你玩的游戏版本进行调整。游戏中的对话和选项也可能影响任务的进展和结果，因此请务必仔细阅读对话内容并谨慎选择选项。